Question

【題目】若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與直線y=x無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①若a=1，b=2，則c＞
②若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立
③函數(shù)g（x）=ax2﹣bx+c的圖象與直線y=﹣x也一定沒有交點(diǎn)
④若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立
⑤方程f[f（x）]=x一定沒有實(shí)數(shù)根
其中正確的結(jié)論是 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④⑤
【解析】（1）f（x）=x2+2x+c，
令f（x）=x=x2+2x+c，
整理得x2﹣x+c=0，要使函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x無交點(diǎn)，
需△=1﹣4c＜0，即c＞ ， 故①正確．
（2）依題意知f（1）=a+b+c=0，
故二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c有一個(gè)零點(diǎn)（1，0），
∴若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x不是對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，
故②錯(cuò)誤．
（3）聯(lián)立二次函數(shù)和直線方程整理得ax2+（b﹣1）x+c=0，圖象無交點(diǎn)，
∴△=（b﹣1）2﹣4ac＜0，
聯(lián)立 ，
消去y得ax2+bx+c=0，△=（b﹣1）2﹣4ac＜0，
∴函數(shù)g（x）=ax2﹣bx+c的圖象與直線y=﹣x也一定沒有交點(diǎn)，
故③正確．
（4）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）＞x
∴f[f（x）]=f（x），
∴f[f（x）]=f（x）＞x恒成立．故④結(jié)論正確．
（5）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因?yàn)閒[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x沒有實(shí)數(shù)根；
故⑤結(jié)論正確．
所以答案是：①③④⑤．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減)．