Question

8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：AD=$\sqrt{DE•DB}$；
（2）若CD=2$\sqrt{6}$，點(diǎn)O到AC的距離為1，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等弧所對的圓周角相等可以得出∠CBD=∠ECD，再有∠CDB=∠EDC，從而可得出△BCD～△CED，這樣便可得到DC²=DE•DB，而DC=AD，從而得出$AD=\sqrt{DE•DB}$；
（2）可連接OC，OD，并設(shè)OD交AC于F，可說明OD⊥AC，這樣在Rt△OCF中有r²=CF²+1，從而在Rt△DCF中可以得到r²-1+（r-1）²=24，解該方程便可得出⊙O的半徑r值．

解答 解：（1）證明：D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)；
∴∠ABD=∠CBD；
又∠ABD=∠ECD；
∴∠CBD=∠ECD；
又∠CDB=∠EDC；
∴△BCD～△CED；
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{DB}{DC}$；
∴DC²=DE•DB；
∵DC=AD；
∴AD²=DE•DB；
∴$AD=\sqrt{DE•DB}$；
（2）如圖，連接OD，OC，設(shè)OD交AC于點(diǎn)F；
∵D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)；
∴OD⊥AC；
在Rt△OCF中，OF=1，OC=r，則：r²=CF²+1；
∴CF²=r²-1；
在Rt△DCF中，$CD=2\sqrt{6}，DF=r-1$，則：r²-1+（r-1）²=24；
解得r=4，或-3（舍去）．

點(diǎn)評 考查等弧所對的圓周角相等，相似三角形的判斷及對應(yīng)邊的比例關(guān)系，直角三角形的邊的關(guān)系，以及解一元二次方程．