Question

6．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，
曲線C₁：$psin（θ+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-2sinα}\\{y=-1+2cosα}\end{array}$，（α為參數(shù)）．
（Ⅰ） 求曲線C₁的直角坐標方程與曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ） 求曲線C₂上的點到曲線C₁的點的最小距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁：$psin（θ+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，展開代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化為直角坐標方程．利用sin²α+cos²α=1可把曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-2sinα}\\{y=-1+2cosα}\end{array}$，（α為參數(shù)），化為普通方程．
（II）利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，即可得出最小距離．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁：$psin（θ+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，化為直角坐標方程：x+y-2=0．
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-2sinα}\\{y=-1+2cosα}\end{array}$，（α為參數(shù)），消去參數(shù)可得（x+1）²+（y+1）²=4．
（Ⅱ） 曲線C₂表示圓心為（-1，-1），半徑r=2的圓，
圓心到直線的距離d$\frac{|-1-1-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$＞2，
所以圓上的點到直線的距離的最小值為$2\sqrt{2}$-2．．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．