Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點． （Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中點，PA=AB，∴AN⊥PB． ∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．
又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．
∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM
解法2：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A﹣xyz，設BC=1，
可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0）， ，D（0，2，0）．
因為 ，所以PB⊥DM．

（Ⅱ）解法1：取AD中點Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．
設BC=1，在Rt△BQN中，則 ， ，故 ．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為 ．
解法2：因為 ．
所以 PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，
因此 的余角即是CD與平面ADMN所成的角．
因為 ．
所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為
【解析】（Ⅰ）解法1 先由AD⊥PA．AD⊥AB，證出AD⊥平面PAB得出AD⊥PB．又N是PB的中點，PA=AB，得出AN⊥PB．證出PB⊥平面ADMN后，即可證出PB⊥DM． 解法2：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A﹣xyz，設BC=1，通過證明 證出PB⊥DM （Ⅱ）解法1：取AD中點Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，所以CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．在Rt△BQN中求解即可． 解法2，通過 PB⊥平面ADMN，可知 是平面ADMN 的一個法向量， 的余角即是CD與平面ADMN所成的角．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想才能正確解答此題．