Question

2．在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=$\sqrt{2}$．
（1）求證：DE⊥面ACD
（2）求點(diǎn)E到面ABD的距離．

Answer 1

分析 （1）依題意，易證AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求點(diǎn)E到面ABD的距離．

解答 （1）證明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=$\sqrt{2}$，
由AC=$\sqrt{2}$，AB=2得AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；
（2）解：由（1）可得，△ABD中，AD=$\sqrt{6}$，BD=$\sqrt{2}$，AB=2，∴AB⊥BD，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
設(shè)點(diǎn)E到面ABD的距離為h，則$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)E到面ABD的距離為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，同時(shí)考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力．