Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，則a_n=$\frac{1}{3n-2}$，，若b_n=a_na_n+1，則b_n的前n項和為$\frac{n}{3n+1}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式后可得數(shù)列{a_n}的通項公式，然后利用裂項相消法求得{b_n}的前n項和．

解答 解：由a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+3$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項，以3為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=1+3（n-1）=3n-2$，
則${a}_{n}=\frac{1}{3n-2}$；
b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{3n-2}•\frac{1}{3n+1}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{3}（1-\frac{1}{4}）+\frac{1}{3}（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）=\frac{n}{3n+1}$．
故答案為：$\frac{1}{3n-2}$，$\frac{n}{3n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．