Question

8．設(shè)F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，則$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范圍為（0，$\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 利用余弦定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴a²=4，b²=1，可得c²=a²-b²=3，即a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-12}{2mn}$=$\frac{4-2mn}{2mn}$=$\frac{2}{mn}$-1
∵m+n=4≥2$\sqrt{mn}$，∴mn≤4
∴cos∠F₁PF₂≥-$\frac{1}{2}$，
∴0＜∠F₁PF₂≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范圍為（0，$\frac{2π}{3}$]，
故答案為：（0，$\frac{2π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．