Question

19．如圖，我們知道圓環(huán)是線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，所以，圓環(huán)的面積S=π（R²-r²）=（R-r）×2π×$\frac{R+r}{2}$可以看作是以線段AB=R-r為寬，以AB的中心繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×$\frac{R+r}{2}$為長的矩形面積．請將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-2）²+y²≤1}繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是4π²．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中圓環(huán)的面積等于是以線段AB=R-r為寬，以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×$\frac{R+r}{2}$為長的矩形面積．拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓（x-d）²+y²=r²為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長2π×d為高的圓柱的體積．代入可得答案

解答 解：由已知中圓環(huán)的面積等于是以線段AB=R-r為寬，
以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×$\frac{R+r}{2}$為長的矩形面積．
拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，
則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：
以圓（x-d）²+y²=r²為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長2π×d為高的圓柱的體積．
故V=πr²•2πd=2π²r²d，
當(dāng)d=2，r=1時，V=4π²，
故答案為：4π²．

點評 本題考查的知識點是圓柱的體積，類比推理，其中得到拓展到空間后，將平面區(qū)域M={（x，y）|（x-d）²+y²≤r²}（其中0＜r＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓（x-d）²+y²=r²為底面，以圓心（d，0）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長2π×d為高的圓柱的體積．是解答的關(guān)鍵．