Question

10．如圖，四邊形ABCD是正方形，以AD為直徑作半圓DEA（其中E是$\widehat{AD}$的中點），若動點P從點A出發(fā)，按如下路線運動：A→B→C→D→E→A→D，其中$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+2μ\overrightarrow{AE}$（λ、μ∈R），則下列判斷中：
①不存在點P使λ+μ=1；
②滿足λ+μ=2的點P有兩個；
③λ+μ的最大值為3；
④若滿足λ+μ=k的點P不少于兩個，則k∈（0，3）．
正確判斷的序號是②③．（請寫出所有正確判斷的序號）

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標表示得出$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+2μ\overrightarrow{AE}$；
討論點P在AB、BC、CD以及弧DEA和AD上運動時，λ、μ的取值范圍，
對給出的命題進行分析、判斷，從而得出正確的結(jié)論．

解答 解：建立平面直角坐標系，如圖所示；
設(shè)點A（0，0），B（1，0），
∴點C（1，1），D（0，1），E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
延長AE至F，使AF=2AE，∴點F（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），2$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AF}$=（-1，1）；
∴$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+2μ\overrightarrow{AE}$=λ（1，0）+μ（-1，1）=（λ-μ，μ）；
當點P在AB上運動時，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，λ從0增大到1，μ=0，∴λ+μ∈[0，1]；
當點P在BC上運動時，λ從1增大到2，μ從0增大到1，∴λ+μ∈[1，3]；
當點P在CD上運動時，λ從2減小到1，μ=1，∴λ+μ∈[1，3]；
當點P在弧DEA上運動時，-$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{1}{2}$，0≤μ≤$\frac{1}{2}$，∴λ+μ∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
當點P在AD上運動時，0≤λ≤1，0≤μ≤1，0≤λ+μ≤2；
綜上，對于①，不妨令λ=1，μ=0，則λ+μ=1，$\overrightarrow{AP}$=（1，0），P與點B重合，∴①錯誤；
對于②，當λ=μ=1時，λ+μ=2，$\overrightarrow{AP}$=（0，1），點P與點D重合，
當λ=$\frac{3}{2}$，μ=$\frac{1}{2}$時，λ+μ=2，$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{1}{2}$），點P是BC的中點，
∴滿足條件的點P有兩個，②正確；
對于③，當點P與點C重合時，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}$=（1，1），∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-μ=1}\\{μ=1}\end{array}\right.$，得λ=2，μ=1，
此時λ+μ取得最大值為3，③正確；
對于④，當滿足λ+μ=k的點P不少于兩個時，則k∈（-$\frac{1}{2}$，3），∴④錯誤；
綜上，正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點評 本題考查了平面向量運算問題，也考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目．