Question

3．已知離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，若△AOF的面積為4，則a的值為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用雙曲線的離心率求出漸近線方程，利用三角形的面積，結(jié)合離心率即可得到方程組求出a即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，所以FA⊥OA，則FA=b，OA=a，
△AOF的面積為4，
可得$\frac{1}{2}ab=4$，
雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
解得b=2，a=4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力．