Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，且f（x）≤0恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 分離參數(shù)a，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最終求出最值解決問題．

解答 解：由題意得x＞0，
所以要使原式成立，只需$a≥\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}$，（x＞0）恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}，x＞0$，
則$g′（x）=\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{-lnx}{{x}^{2}}，x＞0$．
由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1．
所以x=1是函數(shù)g（x）唯一的極大值點，也是最大值點．
所以要使原式成立，只需a≥g（x）_max=g（1）=1．
故所求a的范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查了不等式恒成立時求字母取值范圍的問題，一般先分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．