Question

17．已知${（x+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$的展開(kāi)式所有項(xiàng)中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
（1）求n的值；
（2）求展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值．
（2）在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0-1，求出r的值，即可求得展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$的系數(shù)．

解答 解：（1）由題意，展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)$C_n^0，C_n^1，C_n^2，C_n^3，C_n^4，…C_n^n$中，$C_n^4$最大，故n=8．
（2）設(shè)展開(kāi)式中含$\frac{1}{x}$的為為r+1項(xiàng)，則${T_{r+1}}=C_8^r{x^{8-r}}{（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^r}=C_8^r{（\frac{1}{2}）^r}{x^{8-\frac{3}{2}r}}$，
令$8-\frac{3}{2}r=-1$，得r=6，所以展開(kāi)式中$\frac{1}{x}$系數(shù)為$C_8^6{（\frac{1}{2}）^6}=\frac{7}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．