Question

5．已知拋物線關于x軸對稱，頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點$M（2，-2\sqrt{2}）$，斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），過M（2，-2$\sqrt{2}$），利用拋物線的定義，求解即可．
（2）直線l斜率為1，且過焦點F（1，0），則l方程：y=x-1，聯(lián)立方程組，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用拋物線的性質，即可線段AB的長度．

解答 解：（1）設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），過M（2，-2$\sqrt{2}$），
得4p=8，即得p=2，
∴拋物線的標準方程為y²=4x
（2）直線l斜率為1，且過焦點F（1，0），則l方程：y=x-1
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，
可得x²-6x+1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8即線段AB的長度．

點評 本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線方程的求法，考查計算能力．