Question

5．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A（-1，1）和B（1，3），線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|=4．
（Ⅰ）求直線CD的方程；
（Ⅱ）求圓P的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得直線AB的斜率和AB的中點，進而求得CD斜率，利用點斜式取得直線CD 方程．
（Ⅱ）設(shè)出圓心P的坐標，利用直線方程列方程，利用點到直線的距離確定a和b的等式綜合求得a和b，則圓的方程可得．

解答 解：（Ⅰ）直線AB的斜率k=1，AB中點坐標為（0，2），
∴直線CD的斜率為-1，
∴直線CD方程為y-2=-x，即x+y-2=0
（Ⅱ）設(shè)圓心P（a，b），則由P在CD上，得a+b-2=0①
又直徑|CD|=4，∴|PA|=2，（a+1）²+（b-1）²②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$
∴圓心P（1，1）或P（-1，3），
∴圓P的方程為（x-1）²+（y-1）²=4
和（x+1）²+（y-3）²=4．

點評 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用能力．