Question

12．已知點(diǎn)A（1，1），B（1，-1），C（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若|$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{2}$，求sin2θ的值；
（2）若實(shí)數(shù)m，n滿足m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，求（m-3）²+n²的最大值和取得最大值時(shí)的θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算（終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)）求出$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，然后再根據(jù)向量減法和模的坐標(biāo)計(jì)算結(jié)合條件|$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{2}$，得出sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再兩邊平方即可得解．
（2）根據(jù)向量相等和條件m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，求出$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）}\\{n=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ-sinθ）}\end{array}\right.$，然后再代入（m-3）²+n²中可得（m-3）²+n²=-3$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+10再結(jié)合輔助角公式可得（m-3）²+n²=-6sin（θ+$\frac{π}{4}$）+10從而可得出當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1時(shí)，（m-3）²+n²取得最大值16．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，A（1，1），B（1，-1），C（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$cosθ-1，$\sqrt{2}$sinθ-1）
∴|$\overrightarrow{AC}$|²=（$\sqrt{2}$cosθ-1）²+（$\sqrt{2}$sinθ-1）²=-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+4．
∴-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
兩邊平方得1+sin2θ=$\frac{1}{2}$，
∴sin2θ=-$\frac{1}{2}$．
（2）由已知得：（m，m）+（n，-n）=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=\sqrt{2}cosθ}\\{m-n=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ+sinθ）}\\{n=\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ-sinθ）}\end{array}\right.$，
∴（m-3）²+n²=m²+n²-6m+9，
=-3$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+10
=-6sin（θ+$\frac{π}{4}$）+10，
∴當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1時(shí)，（m-3）²+n²取得最大值16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了向量的坐標(biāo)計(jì)算、減法、模的坐標(biāo)計(jì)算以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬�？碱}型，較難．解題的關(guān)鍵是掌握常用的變形技巧：通過(guò)sinθ±cosθ兩邊平方求出sin2θ：通過(guò)輔助角公式可將-3$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+10化為-6sin（θ+$\frac{π}{4}$）+10！