Question

10．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，焦點(diǎn)F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），過F₁的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且△F₂MN的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓方程；
（2）與y軸不重合的直線l與y軸交與點(diǎn)P（0，m）（m≠0），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，若$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），利用橢圓的定義及已知條件，計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由橢圓的定義及△F₂MN的周長(zhǎng)為8可知：4a=8，
又∵離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)l：y=kx+m與橢圓C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
將y=kx+m代入$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，消去y可得：
（k²+2）x²+2kmx+m²-4=0，
∵△=8（2k²-m²+4）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁•x₂=-3${{x}_{2}}^{2}$，
消去x₂得：3（x₁+x₂）²+4x₁•x₂=0，
∴3（-$\frac{2km}{2+{k}^{2}}$）²+4（$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$）=0，
即2k²m²+m²-2k²-4=0，
當(dāng)m²=1時(shí)，顯然不成立，
∴m²≠1，2k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$≥0，且2k²＞m²-4，
解得：m∈（-2，-1）∪（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．