Question

19．已知點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，過點P（0，3）的直線l與橢圓交于A，B兩點，且|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{AB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義以及焦距，求解橢圓的幾何量，求解橢圓方程即可．
（2）說明A是PB的中點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），說明直線l的斜率k存在．設直線l的方程為y=kx+3，聯(lián)立橢圓和直線方程，利用韋達定理求解直線的斜率，可得直線l的方程．

解答 解：（1）根據(jù)橢圓的定義：2a=4，所以a=2，b²=a²-1²=3，
所以橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AB}$，則A是PB的中點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知：2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂，
橢圓的上下頂點坐標分別是$（0，\sqrt{3}）$和$（0，-\sqrt{3}）$，
經(jīng)檢驗直線l不經(jīng)過這2點，即直線l的斜率k存在．
設直線l的方程為y=kx+3，
聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：（3+4k²）x²+24kx+24=0$⇒{x_1}+{x_2}=\frac{-24k}{{3+4{k^2}}}$，
${x_1}{x_2}=\frac{24}{{3+4{k^2}}}$，$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}+2⇒$$\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{5}{2}$$⇒\frac{{{{（-24k）}^2}}}{{（3+4{k^2}）•24}}=\frac{9}{2}$$⇒k=±\frac{3}{2}$，
所以，直線l的方程為$y=±\frac{3}{2}x+3$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系、向量線性運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．