Question

4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C（0，c）任作一直線，與拋物線y=x²相交于A，B兩點，一條垂直于x軸的直線分別與線段AB和直線l：y=-c交于點P，Q．
（1）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，求c的值；
（2）若P為線段AB的中點，求證：直線QA與該拋物線有且僅有一個公共點．
（3）若直線QA的斜率存在，且與該拋物線有且僅有一個公共點，試問P是否一定為線段AB的中點？說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線AB：y=kx+c，代入拋物線的方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示，解方程可得c的值；
（2）運用中點坐標公式可得Q的坐標，運用兩點的斜率公式，可得QA的斜率，求得拋物線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可得證；
（3）設(shè)A（t，t²），這里x_A=t≠0，由（2）知過A的與y=x²有且僅有一個公共點的斜率存在的直線必為y=2tx-t²．求得Q的橫坐標，P的橫坐標，求得AC的方程，聯(lián)立拋物線的方程，求得B的橫坐標，運用中點坐標公式，即可判斷P為線段AB的中點．

解答 解：（1）設(shè)直線AB：y=kx+c，與y=x²聯(lián)立，得x²-kx-c=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂=-c，從而y₁y₂=x₁²x₂²=c²，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，可得c²-c=2得c=2或-1（舍去），
得c=2；
（2）證明：由（1）可得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{2}$，
故直線PQ：x=$\frac{k}{2}$，可得$Q（{\frac{k}{2}，-c}）$．
設(shè)$A（{x_1}，x_1^2）$，k_QA=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+c}{{x}_{1}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
由（1）可得x₁x₂=-c，即有x₂=-$\frac{c}{{x}_{1}}$，
可得k_QA=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-（-\frac{c}{{x}_{1}}）}$=2x₁，
由y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
可得過A的切線的斜率為2x₁，
故直線QA與該拋物線有且僅有一個公共點；
（3）設(shè)A（t，t²），這里x_A=t≠0，
由（2）知過A的與y=x²有且僅有一個公共點的斜率存在的直線必為y=2tx-t²．
與y=-c相交，得${x_Q}=\frac{{{t^2}-c}}{2t}$．
故${x_P}=\frac{{{t^2}-c}}{2t}$，$\overrightarrow{CA}=（t，{t^2}-c）$，
所以${l_{AC}}：y=（{t-\frac{c}{t}}）x+c$．與y=x²聯(lián)立，得x²-（t-$\frac{c}{t}$）x-c=0，
即$（x-t）（{x+\frac{c}{t}}）=0$，故${x_B}=-\frac{c}{t}$．
這樣${x_P}=\frac{1}{2}（{x_A}+{x_B}）$，即P是AB的中點．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線和拋物線相切的條件，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，以及直線的斜率公式的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．