Question

4．已知直線l₁：y=2x，直線l₂過定點(diǎn)A（3，2）且與x軸上交于點(diǎn)P（a，0）（a＞2），則直線l₁，l₂與x軸正半軸圍成的三角形面積的最小值=8．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，當(dāng)a≠3時(shí)，求出直線PA的方程，聯(lián)立直線PA的方程與y=2x求得B的縱坐標(biāo)，代入三角形面積公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最值，當(dāng)a=3時(shí)，直接求得三角形面積，比較后得答案．

解答 解：如圖，

∵A（3，2）且與x軸上交于點(diǎn)P（a，0）（a＞2），
∴當(dāng)a≠3時(shí)，直線PA的方程為：$\frac{y-0}{2-0}=\frac{x-a}{3-a}$，即2x+（a-3）y-2a=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{2x+（a-3）y-2a=0}\end{array}\right.$，解得${y}_{B}=\frac{2a}{a-2}$．
∴${S}_{△OPB}=\frac{1}{2}×a×\frac{2a}{a-2}=\frac{{a}^{2}}{a-2}$=$\frac{1}{-\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{a}}$．
∴當(dāng)$\frac{1}{a}=\frac{1}{4}$，即a=4時(shí)，（S_△OPB）_min=8；
當(dāng)a=3時(shí)，PA所在直線方程為x=3，則y_B=6，此時(shí)${S}_{△OPB}=\frac{1}{2}×3×6=9$．
綜上，直線l₁，l₂與x軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的截距式方程，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．