Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow$=（secθ，1），t=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，關(guān)于實數(shù)x的不等式|x-$\frac{{t}^{2}}{2}$|≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$，x²-3tx+2（3t-2）≤0的解集分別為M，N，且M∩N≠∅，求角θ的取值范圍．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：t=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=tanθ+1．由關(guān)于實數(shù)x的不等式|x-$\frac{{t}^{2}}{2}$|≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$，可得2t-2≤x≤t²-2t+2．當tanθ≠1時，M=[2tanθ，tan²θ+1]，當tanθ=1時，M={2}．由x²-3tx+2（3t-2）≤0，對t及tanθ分類討論即可得出解集．通過分類討論得到tanθ的取值范圍．

解答 解：t=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinθsecθ+1=tanθ+1，
關(guān)于實數(shù)x的不等式|x-$\frac{{t}^{2}}{2}$|≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$，∴$-\frac{（t-2）^{2}}{2}$+$\frac{{t}^{2}}{2}$≤x≤$\frac{（t-2）^{2}}{2}$+$\frac{{t}^{2}}{2}$．
化為2t-2≤x≤t²-2t+2．
∴當tanθ≠1時，M=[2tanθ，tan²θ+1]，
∴當tanθ=1時，M={2}．
由x²-3tx+2（3t-2）≤0，
當$t＞\frac{4}{3}$時，解得2≤x≤3t-2，
∴當tanθ＞$\frac{1}{3}$時，N=[2，3tanθ+1]；
當t=$\frac{4}{3}$即tanθ=$\frac{1}{3}$時，N={2}；
當t$＜\frac{4}{3}$，即tanθ＜$\frac{1}{3}$時，解得3t-2≤x≤2，因此N=[3tanθ+1，2]．
①當tanθ≥3時，∵tan²θ+1≥3tanθ+1，∴M∩N=[2tanθ，3tanθ+1]≠∅．
②當1＜tanθ＜3時，可得M∩N=[2tanθ，tan²θ+1]≠∅．
③當tanθ=1時，可得M∩N={2}≠∅．
④當$\frac{1}{3}$≤tanθ＜1時，可得M∩N=∅，舍去．
⑤當0＜tanθ＜$\frac{1}{3}$時，可得M∩N=∅，舍去．
⑥當tanθ=0時，可得M∩N={1}．
⑦當-1≤tanθ＜0時，可得M∩N=[2tanθ，tan²θ+1]≠∅．
⑧當tanθ＜-1時，可得M∩N=[2tanθ，2]≠∅．
綜上可得：tanθ≥1或tanθ≤0．
∴角θ的取值范圍為$（kπ-\frac{π}{2}，kπ]$∪$[kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{2}）$（k∈Z）．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、絕對值不等式與一元二次不等式的解法、集合的運算、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．