Question

11．設(shè)z=a+bi，a，b∈R，b≠0．，且ω=z+$\frac{1}{z}$是實數(shù)，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）設(shè)u=$\frac{1-z}{1+z}$，求證：u為純虛數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的除法以及加法運算法則化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，然后求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）化簡u=$\frac{1-z}{1+z}$，然后判斷復(fù)數(shù)的實部為0，虛部是非零實數(shù)，即可證明u為純虛數(shù)．

解答 解：（1）∵z=a+bi，a，b∈R，b≠0．
∴$ω=a+bi+\frac{1}{a+bi}=（a+\frac{a}{{{a^2}+{b^2}}}）+（{b-\frac{{{a^2}+{b^2}}}}）i$，
∵ω是實數(shù)，b≠0，∴a²+b²=1即|z|=1，
∵ω=2a，-1＜ω＜2∴z的實部的取值范圍是$（{-\frac{1}{2}，1}）$；…（5分）
（2）證明：$u=\frac{1-z}{1+z}=\frac{1-a-bi}{1+a+bi}=\frac{{（{1-a-bi}）（{1+a-bi}）}}{{（{1+a+bi}）（{1+a-bi}）}}=\frac{{1-{a^2}-{b^2}-2bi}}{{{{（{1+a}）}^2}+{b^2}}}=-\frac{a+1}i$，
∵$a∈（{-\frac{1}{2}，1}），b≠0$，∴u為純虛數(shù)．…（10分）

點評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，考查計算能力．