Question

1．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若向量$\overrightarrow m=（2sinA，\sqrt{3}），\;\;\overrightarrow n=（a，c）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（1）求角C的大��；
（2）設(shè)c=5，△ABC的面積是$2\sqrt{3}$，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由已知利用向量共線的性質(zhì)可得$\sqrt{3}$a=2csinA利用正弦定理化簡可得$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，結(jié)合C為銳角，即可得解C的值．
（2）利用三角形面積公式可求ab=8，由余弦定理得（a+b）²-3ab=25，進而可求a+b的值，即可得解△ABC的周長．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由∵向量$\overrightarrow m=（2sinA，\sqrt{3}），\;\;\overrightarrow n=（a，c）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴$\sqrt{3}$a=2csinA，---------------------------------------------2分
∴得：$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴$\sqrt{3}=2sinC$
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$C=\frac{π}{3}$（C為銳角）．------6分
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ab=8，-------------------7分
由余弦定理得：a²+b²-2abcosC=c²，----------------------------8分
即：a²+b²-ab=25，（a+b）²-3ab=25，------------------------10分
∴（a+b）²=49，可得：a+b=7，
∴△ABC的周長為a+b+c=12．--------------------------------------------------12分．

點評 本題主要考查了平面向量共線的性質(zhì)，正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．