Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在直線l：x=-1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B與l垂直的直線和線段AB的垂直平分線相交于點(diǎn)M．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）過（1）中軌跡E上的點(diǎn)P （1，2）作兩條直線分別與軌跡E相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）兩點(diǎn)．試探究：當(dāng)直線PC，PD的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線CD的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過|MA|=|MB|，判斷動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A（1，0）為焦點(diǎn)，直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，求解即可．（2）利用P （1，2），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）在拋物線y²=4x上，利用平方差法得到直線CD的斜率，設(shè)直PC的斜率為k，求出直線PC方程為y-2=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．

解答 解：（1）依題意，得|MA|=|MB|…（1分）
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A（1，0）為焦點(diǎn)，直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，…（3分）
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=4x．…（5分）
（2）∵P （1，2），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）在拋物線y²=4x上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}…①\\{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}…②\end{array}\right.$
由①-②得，（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直線CD的斜率為${k_{CD}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$，…③…（8分）
設(shè)直PC的斜率為k，則PD的斜率為-k，
可設(shè)直線PC方程為y-2=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=kx-k+2\end{array}\right.$得：
ky²-4y-4k+8=0，由$2+{y_1}=\frac{4}{k}$，求得y₁=$\frac{4}{k}$-2，
同理可求得y₂=-$\frac{4}{k}$-2…（12分）
∴${k_{CD}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{4}{{（\frac{4}{k}-2）+（-\frac{4}{k}-2）}}=-1$
∴直線CD的斜率為定值-1．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．