Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，$\sqrt{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，P是橢圓上異于M，n的任意一點(diǎn)，若直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)A（m，0），B（n，0），請(qǐng)問mn是否為定值，若是，求出點(diǎn)該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率即可得到a²=2b²，帶入橢圓方程即可得到$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，然后將點(diǎn)M坐標(biāo)帶入上面方程即可求出b²=4，從而可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性即可寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，設(shè)P（x₀，y₀），利用直線的點(diǎn)斜式方程即可寫出直線MP，NP的方程，都令y=0即可分別求出m=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}-2{y}_{0}}{\sqrt{2}-{y}_{0}}$，
n=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}+2{y}_{0}}{\sqrt{2}+{y}_{0}}$，從而得到$mn=\frac{2{{x}_{0}}^{2}-4{{y}_{0}}^{2}}{2-{{y}_{0}}^{2}}$，根據(jù)P點(diǎn)在橢圓上，滿足橢圓的方程即可得到${{x}_{0}}^{2}=8-2{{y}_{0}}^{2}$，帶入上式即可得到mn=8，從而得出結(jié)論：mn為定值，定值為8．

解答 解：（Ⅰ）依題意得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a，{c}^{2}={a}^{2}-^{2}=\frac{1}{2}{a}^{2}$；
∴a²=2b²；
∴橢圓方程變成$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$；
橢圓過點(diǎn)M（2，$\sqrt{2}$）；
∴$\frac{4}{2^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1$；
∴b²=4；
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）M點(diǎn)關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)N（2，$-\sqrt{2}$），設(shè)P（x₀，y₀），則直線MP，NP都存在斜率且不為0；
∴直線MP的方程為$y-\sqrt{2}=\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，根據(jù)已知令y=0，則m=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}-2{y}_{0}}{\sqrt{2}-{y}_{0}}$；
同理求出n=$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}+2{y}_{0}}{\sqrt{2}+{y}_{0}}$；
∴$mn=\frac{2{{x}_{0}}^{2}-4{{y}_{0}}^{2}}{2-{{y}_{0}}^{2}}$①；
P在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$；
∴${{x}_{0}}^{2}=8-2{{y}_{0}}^{2}$，帶入①，則：
mn=$\frac{16-8{{y}_{0}}^{2}}{2-{{y}_{0}}^{2}}=8$；
∴mn為定值，定值為8．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓離心率的概念及計(jì)算公式，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程，以及橢圓的對(duì)稱性，直線的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)能求過這兩點(diǎn)的直線斜率．