Question

7．y=a^x（a＞1），若函數(shù)定義域值域都是（m，n），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化為y=a^x與y=x有2個(gè)交點(diǎn)，分類得出0＜a＜1時(shí)，y=a^x與y=x有1個(gè)交點(diǎn)，可判斷a＞1，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求解得出a${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{lna}$，a${\;}^{{x}_{0}}$=y₀=x₀，化簡(jiǎn)得出a${\;}^{\frac{1}{lna}}$=$\frac{1}{lna}$，兩邊取對(duì)數(shù)得出：1=-ln（lna），即可求解a的值，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出范圍．

解答 解：∵y=a^x（a＞1），若函數(shù)定義域值域都是（m，n），
∴a^x=x在（0，+∞）有2個(gè)不等實(shí)根，
∴y=a^x與y=x有2個(gè)交點(diǎn)，
∵0＜a＜1時(shí)，y=a^x與y=x有1個(gè)交點(diǎn)，
∴可判斷a＞1，
∵y=a^x與y=x相切時(shí)，切點(diǎn)為（x₀，y₀）
∴y′=a^xlna，
a${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{lna}$，a${\;}^{{x}_{0}}$=y₀=x₀，
x₀=$\frac{1}{lna}$，y₀=$\frac{1}{lna}$，
即可得出a${\;}^{\frac{1}{lna}}$=$\frac{1}{lna}$，
兩邊取對(duì)數(shù)得出：1=-ln（lna），
lna=$\frac{1}{e}$，a=e${\;}^{\frac{1}{e}}$，
∴可判斷：1＜a＜e${\;}^{\frac{1}{e}}$，

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，代數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．