Question

6．如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F．將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A₁-BCD，如圖2所示．
（Ⅰ）若M是A₁C的中點，求證：DM∥平面A₁EF；
（Ⅱ）若平面A₁BD⊥平面BCD，試判斷直線A₁B與直線CD能否垂直？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取FC中點N，推導出DN∥EF，MN∥A₁F，由此能證明DM∥平面A₁EF．
（Ⅱ）推導出EF⊥平面A₁BD，從而A₁B⊥EF，假設A₁B⊥CD，則A₁B⊥平面BCD，A₁E⊥平面BCD，與“過一點和已知平面垂直的直線只有一條”相矛盾，從而直線A₁B與直線CD不能垂直．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）取FC中點N．
在圖1中，由D，N分別為AC，F(xiàn)C中點，
所以DN∥EF．（2分）
在圖2中，由M，N分別為A₁C，F(xiàn)C中點，
所以MN∥A₁F，（4分）
所以平面DMN∥平面A₁EF，（5分）
所以DM∥平面A₁EF．（6分）
解：（Ⅱ）直線A₁B與直線CD不可能垂直．（7分）
因為平面A₁BD⊥平面BCD，EF?平面BCD，EF⊥BD，
所以EF⊥平面A₁BD，（8分）
所以A₁B⊥EF．（9分）
假設有A₁B⊥CD，
注意到CD與EF是平面BCD內(nèi)的兩條相交直線，
則有A₁B⊥平面BCD．（1）（10分）
又因為平面A₁BD⊥平面BCD，A₁E?平面A₁BD，A₁E⊥BD，
所以A₁E⊥平面BCD．（2）（11分）
而（1），（2）同時成立，這顯然與“過一點和已知平面垂直的直線只有一條”相矛盾，
所以直線A₁B與直線CD不可能垂直．（13分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查兩直線是否垂直的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．