Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2，等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₄+1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₁=1、a_n+1-a_n=2可知數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，進而計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知c_n=（2n-1）•2^n-1，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b₁=a₁=1，b₄=a₄+1=8，
∴公比q=$\root{3}{\frac{_{4}}{_{1}}}$=$\root{3}{\frac{8}{1}}$=2，
∴b_n=2^n-1；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+…+（2n-1）•2^n-1，
2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
錯位相減得：-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
∴S_n=-1-2（2¹+2²+…+2^n-1）+（2n-1）•2ⁿ
=-1-2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（2n-1）•2ⁿ
=3+（2n-3）•2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．