Question

2．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2，P是側(cè)棱CC₁上的一點，CP=m（0＜m＜2）．
（Ⅰ）試問直線B₁D₁與AP能否垂直？并說明理由；
（Ⅱ）若直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°，試確定m值；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁與平面PAB所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，求得B₁，D₁與A，P的坐標，運用向量的坐標表示和向量垂直的表示，即可得到證明；
（Ⅱ）運用線面垂直，可得$\overrightarrow{AC}為平面B{B_1}{D_1}D$的一個法向量．設(shè)直線AP與平面$BDD_1^{\;}B_1^{\;}$所成的角為θ，即可得到方程，解方程可得m；
（Ⅲ）分別求得平面PA₁D₁的法向量，平面PAB的法向量，運用法向量的夾角公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），P（0，1，m），
所以$\overrightarrow{{B_1}{D_1}}=（-1，-1，0），\;\;\overrightarrow{AP}=（-1，1，m）$，$⇒\overrightarrow{{B_1}{D_1}}•\overrightarrow{AP}=1-1+0=0⇒\overrightarrow{{B_1}{D_1}}⊥\overrightarrow{AP}$．…（4分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{BD}=（-1，-1，0），\;\;\overrightarrow{BB_1^{\;}}=（0，0，2）$，
$\overrightarrow{AC}=（-1，1，0）$．
又∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0，\;\;\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BB_1^{\;}}=0$，
∴$\overrightarrow{AC}為平面B{B_1}{D_1}D$的一個法向量．
設(shè)直線AP與平面$BDD_1^{\;}B_1^{\;}$所成的角為θ，
則$sinθ=cos（{\frac{π}{2}-θ}）=\frac{{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AC}|}}$=$\frac{2}{{\sqrt{2}•\sqrt{{2+m_{\;}^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得$m=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（8分）
（Ⅲ）∵m=1，∴P（0，1，1），
∴$\overrightarrow{{D_1}{A_1}}=（1，0，0），\;\;\overrightarrow{{D_1}P}=（0，1，-1），\overrightarrow{AB}=（0，1，0），\overrightarrow{AP}=（-1，1，1）$．
設(shè)平面PA₁D₁的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{n_1}=（0，1，1）$；
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=0}\\{-{x}_{2}+{y}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{n_2}=（1，0，1）$．
∴$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{1}{2}⇒\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞={60^0}$，
故平面PA₁D₁與平面PAB所成銳二面角為60⁰．…（12分）

點評 本題考查線線垂直和線面角、二面角的大小求法，注意運用空間向量法，考查運算能力，屬于中檔題．