Question

12．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是正方形，側(cè)視圖是矩形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的外接球的體積等于（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}π$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• D． 8π

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個半圓柱，外接球?qū)嶋H上是圓柱在外接球．圓柱外接球，可以在圓柱內(nèi)作一個長方體．長方體的對角線就是外接球的直徑．利用2R=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$即可得到答案．

解答 解：由三視圖，可知該幾何體是一個半圓柱，外接球?qū)嶋H上是圓柱在外接球．圓柱外接球，可以在圓柱內(nèi)作一個底面是正方形的長方體．長方體的對角線就是外接球的直徑．
∵半徑為1的半圓，即正方形的對角線是2，∴邊長為$\sqrt{2}$，高為2，
根據(jù)：2R=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$
∴$2R=\sqrt{2+2+4}$
解得：$R=\sqrt{2}$
所以：${V}_{球}=\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$
故選：C

點評 本題考查了通過三視圖判斷幾何體是形狀是什么，通過轉(zhuǎn)化思想，化成我們熟悉的幾何體．再求其體積和表面積或者外接球半徑．解決本題的關(guān)鍵是知道該幾何體的形狀．屬于基礎(chǔ)題．