Question

14．（文）已知$f（x）=\frac{{{x^2}-6x-3}}{x+1}$，且定義域為[0，1]，則函數f（x）的最小值為-4．

Answer 1

分析 先對函數式裂項得$f（x）=\frac{{{x^2}-6x-3}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-8，再用基本不等式對函數求最值．

解答 解：$f（x）=\frac{{{x^2}-6x-3}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^2-8（x+1）+4}{x+1}$
=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-8，
因為，x∈[0，1]，所以，x+1∈[1，2]，
因此，（x+1）+$\frac{4}{x+1}$≥2•$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$=4，
當且僅當，x+1=2，即x=1時，取“=”，
所以，f（x）_min=f（1）=-4，
故答案為：-4．

點評 本題主要考查了基本不等式在求函數最值中的應用，以及取等條件的分析，考查了對分式“裂項”的運算技巧，屬于中檔題．