Question

7．設實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x-y+1≥0}\\{2x+y-1≥0}\end{array}}\right.$目標函數(shù)z=x+ay取最大值時有無窮多個最優(yōu)解，則a=0．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，要使目標函數(shù)的最優(yōu)解有無數(shù)個，則目標函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
若a=0，則x=z，此時滿足條件最大值時有無窮多個最優(yōu)解，此時a=0，
若a＞0，
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
若a＞0，∴目標函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0．
平移直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由圖象可知當直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$和直線AB：x+y=5平行時，此時目標函數(shù)取得最小值時最優(yōu)解有無數(shù)多個，此時不滿足條件，
若a＜0，∴目標函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0．
平移直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由圖象可知直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，取得最大值的點只有一個，此時不滿足條件，
綜上a=0，
答案為：0

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．