Question

【題目】如圖所示，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)．

（1）證明：B1M⊥平面ABM；
（2）求異面直線A1M和C1D1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB⊥面BCC1B1，BM面BCC1B1

∴AB⊥B1M①

∵B1M= ，BM= ，B1B=2

∴BM⊥B1M②

∵AB∩BM=B

∴由①②可知B1M⊥平面ABM．

（2）解：如圖，因?yàn)镃1D1∥B1A1，所以∠MA1B1為異面直線A1M和C1D1所成的角，

∵A1B1⊥面BCC1B1

∴∠A1B1M=90°

∵A1B1=1，B1M=

∴tan∠MA1B1=

即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為 ．

∴異面直線A1M和C1D1所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）可根據(jù)題中條件計(jì)算得出AB⊥BM，BM⊥B1M然后再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證．（2）由于C1D1∥B1A1故根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠MA1B1為異面直線A1M和C1D1所成的角然后在解三角形MA1B1求出∠MA1B1的正切值即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．