【題目】已知數(shù)列{bn}是首項b1=1,b4=10的等差數(shù)列,設bn+2=3log an(n∈n*).
(1)求證:{an}是等比數(shù)列;
(2)記cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)記dn=(3n+1)Sn , 若對任意正整數(shù)n,不等式 + +…+ > 恒成立,求整數(shù)m的最大值.
【答案】
(1)證明:b1=1,b4=10,可得
公差d= =3,bn=1+3(n﹣1)=3n﹣2;
bn+2=3log an=3n,
則an=( )n,
由 = ,
可得數(shù)列{an}是首項為 ,公比為 的等比數(shù)列;
(2)解:cn= = = ( ﹣ ),
則前n項和Sn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= (1﹣ )= ;
(3)解:dn=(3n+1)Sn=(3n+1) =n.
則問題轉化為對任意正整數(shù)n使
不等式 + +…+ > 恒成立.
設 ,
則f(n+1)﹣f(n)=[ + +…+ ]﹣( + +…+ )
= + ﹣ = >0
所以f(n+1)>f(n),故f(n)的最小值是f(1)= ,
由 < 恒成立,即m<12,
知整數(shù)m可取最大值為11.
【解析】(1)運用等差數(shù)列的通項公式,可得公差d=3,進而得到bn=3n﹣2,再由對數(shù)的運算性質(zhì)和等比數(shù)列的定義,即可得證;(2)求得cn= = = ( ﹣ ),再由數(shù)列的求和方法:裂項相消求和即可得到所求和;(3)求得dn=(3n+1)Sn=(3n+1) =n.設 ,判斷為單調(diào)遞增,求得最小值f(1),再由恒成立思想可得m的范圍,進而得到最大值.
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【題目】如圖所示,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點.
(1)證明:B1M⊥平面ABM;
(2)求異面直線A1M和C1D1所成角的余弦值.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知向量 , ,且 .
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面積為 ,求a+c的值.
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【題目】如圖,四棱錐 中,底面ABCD是直角梯形, , ,平面 底面ABCD, O為AD的中點, M是棱PC上的點, AD=2AB.
(1)求證:平面 平面PAD;
(2)若 平面BMO,求 的值.
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【題目】△ABC三個頂點坐標為A(0,1),B(0,﹣1),C(﹣2,1).
(I)求AC邊中線所在直線方程;
(II)求△ABC的外接圓方程.
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【題目】在平面直角坐標系中,傾斜角為 的直線l與曲線C: ,(α為參數(shù))交于A,B兩點,且|AB|=2,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則直線l的極坐標方程是 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax﹣1(e為自然對數(shù)的底數(shù)). (Ⅰ)當a=1時,求過點(1,f(1))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】函數(shù)y=sin2(x﹣ )的圖象沿x軸向右平移m個單位(m>0),所得圖象關于y軸對稱,則m的最小值為( )
A.π
B.
C.
D.
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【題目】已知向量 =(1,sinθ), =(3,1).
(1)當θ= 時,求向量2 + 的坐標;
(2)若 ∥ ,且θ∈(0, ),求sin(2θ+ )的值.
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