Question

3．已知點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₂|-|PF₁|=2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3時(shí)，P到兩定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和|PF₁|+|PF₂|等于8．

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左支，求得a，b，c．得到雙曲線的方程，再令y=3，解方程求得P的橫坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算即可得到答案．

解答 解：點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
則|F₁F₂|=4，
由動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₂|-|PF₁|=2＜4，
由雙曲線的定義可得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左支，
且a=1，c=2，則b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，即有x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＜0）．
令y=3，則x²=1+3=4，解得，x=-2，∴P（-2，3）．
則|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（-2+2）^{2}+（3-0）^{2}}+\sqrt{（-2-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．