Question

15．定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意a，b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立；②f（x）在[-1，1]上是奇函數(shù)，且f（1）=1．
（1）求證：f（x）在[-1，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）解關(guān)于x不等式f（x）＜f（$\frac{1}{2}$x+1）；
（3）若f（x）≤m²-2am-2對所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明：在區(qū)間[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件中的分式，可以證得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函數(shù)f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)．
（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性，可得-1≤x＜$\frac{1}{2}$x+1≤1，解得答案；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）≤m²-2am-2對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，說明f（x）的最大值1小于或等于右邊，因此先將右邊看作a的函數(shù)，m為參數(shù)系數(shù)，解不等式組，即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
則f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)． 
（2）若f（x）＜f（$\frac{1}{2}$x+1），則-1≤x＜$\frac{1}{2}$x+1≤1，
解得：x∈[-1，0]，
故不等式f（x）＜f（$\frac{1}{2}$x+1）的解集為[-1，0]；
（3）要使f（x）≤m²-2am-2對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只須f（x）_max≤m²-2am-2，即1≤m²-2am-2對任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am-3≥0對任意的a∈[-1，1]恒成立．
令g（a）=m²-2am-3，
只須$\left\{\begin{array}{l}g（-1）={m}^{2}+2m-3≥0\\ g（1）={m}^{2}-2m-3≥0\end{array}\right.$，
解得m≤-3或m≥3．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式恒成立等知識點，屬于中檔題，解題時應(yīng)該注意題中的主元與次元的處理．