Question

5．已知橢圓Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂點(diǎn)P（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓O的方程；
（2）設(shè)A、B、M是橢圓上的三點(diǎn)，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）、（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），求證：|NC|+|ND|=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂點(diǎn)P（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出a，b后可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$得到M的坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入橢圓方程得到$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{5}$x₁+$\frac{4}{5}$x₂）²+（$\frac{3}{5}$y₁+$\frac{4}{5}$y₂）²=1，再由A，B在橢圓上整理可得點(diǎn)N在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+2{y}^{2}=1$上，且C，D為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，則答案可求．

解答 （1）解：∵橢圓Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）右頂點(diǎn)P（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓Q的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1$ ①，
由$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，得M（$\frac{3}{5}$x₁+$\frac{4}{5}$x₂，$\frac{3}{5}$y₁+$\frac{4}{5}$y₂），
又點(diǎn)M在橢圓Q：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$上，
則有$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{5}$x₁+$\frac{4}{5}$x₂）²+（$\frac{3}{5}$y₁+$\frac{4}{5}$y₂）²=1②，
綜合①、②得：$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+y₁y₂=0．
又線段AB的中點(diǎn)為N（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
且$\frac{1}{4}$（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+y₁y₂）=$\frac{1}{2}$
上式表明，點(diǎn)N在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+2{y}^{2}=1$上，且該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰好為（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）、（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），兩點(diǎn)，
由橢圓定義有：|NC|+|ND|=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)解題思想方法，圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．