Question

14．設(shè)n∈N^*，f（n）=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$，試比較f（n）與$\sqrt{n+1}$的大�。�

Answer 1

分析 當(dāng)n=1，2時，f（n）＜$\sqrt{n+1}$；當(dāng)n≥3時，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 解：當(dāng)n=1時，f（1）=1＜$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)n=2時，f（2）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{3}$，
當(dāng)n≥3時，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=3時，f（3）=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞$1+\frac{1.4}{2}+\frac{1.7}{3}$＞2=$\sqrt{3+1}$，不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*，k≥3）時，不等式成立，即f（k）＞$\sqrt{k+1}$．
則當(dāng)n=k+1時，f（k+1）=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1+1}$，
∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
綜上可得：當(dāng)n≥3時，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．
因此：當(dāng)n=1，2時，f（n）＜$\sqrt{n+1}$；
當(dāng)n≥3時，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了分類討論、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．