Question

5．直線3x+4y+a=0上存在點(diǎn)M滿足過(guò)點(diǎn)M作圓（x-2）²+（y-1）²=2的兩條切線互相垂直，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-20，0]
• B． [-20，0]
• C． [-20，0）
• D． （-20，0）

Answer 1

分析 由切線的對(duì)稱性和圓的知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為C（2，1）到直線3x+4y+a=0的距離小于或等于2，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于a的不等式求解．

解答 解：圓（x-2）²+（y-1）²=2的圓心為：C（2，1），半徑為$\sqrt{2}$，
∵直線3x+4y+a=0上存在點(diǎn)M使得過(guò)P的圓C的兩條切線互相垂直，
∴在直線上存在一點(diǎn)M，使得P到C（0，0）的距離等于2，
∴只需C（2，1）到直線3x+4y+a=0的距離小于或等于2，
故$\frac{|10+a|}{5}$≤2，解得-20≤a≤0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，由題意得到C（2，1）到直線3x+4y+a=0的距離小于或等于2是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．