Question

10．若${（{1-2x}）^{2013}}={a_0}+{a_1}x+…+{a_{2013}}{x^{2013}}（{x∈R}）$，則$\frac{a_1}{2^2}+\frac{a_2}{2^3}+…+\frac{{{a_{2013}}}}{{{2^{2014}}}}$值為（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 令x=0 可得a₀ =1．再令x=$\frac{1}{2}$可得$\frac{a_1}{2^2}+\frac{a_2}{2^3}+…+\frac{{{a_{2013}}}}{{{2^{2014}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{0}}{{2}^{0}}$+$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$）-$\frac{1}{2}{a}_{0}$=$\frac{1}{2}$（1-2×$\frac{1}{2}$）²⁰¹³-$\frac{1}{2}{a}_{0}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：在二項式的展開式（1-2x）²⁰¹³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R）中，
令x=0 可得a₀ =1．
∴（1-2x）²⁰¹³ =1+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³ ，
再令x=$\frac{1}{2}$可得：
$\frac{a_1}{2^2}+\frac{a_2}{2^3}+…+\frac{{{a_{2013}}}}{{{2^{2014}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{0}}{{2}^{0}}$+$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2013}}{{2}^{2013}}$）-$\frac{1}{2}{a}_{0}$=$\frac{1}{2}$（1-2×$\frac{1}{2}$）²⁰¹³-$\frac{1}{2}{a}_{0}$=0-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查二項式定理的運用，考查賦值法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．