Question

16．已知曲線C上任意一點P（x，y）到點F（1，0）的距離比到直線x+2=0的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過x軸上一點Q作直線l與曲線C交于A，B兩點，問是否存在定點Q使$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，點P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可得點的軌跡是以F（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，從而可求曲線C的方程．
（2）設(shè)出直線方程代入拋物線的方程，利用韋達定理，結(jié)合$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值，求出點Q的坐標．

解答 解：（Ⅰ）由題意，P到F（1，0）距離等于它到直線x=-1的距離，
由拋物線定義，知C為拋物線，F(xiàn)（1，0）為焦點，x=-1為準線，
所以C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)Q（a，0），直線l的方程為x=my+a，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），．
直線方程代入拋物線的方程，可得y²-4my-4a=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，
∴$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（{x}_{2}-a）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$
=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$•（$\frac{1}{{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{2}}^{2}}$）=$\frac{2{m}^{2}+a}{2（1+{m}^{2}）{a}^{2}}$，
∴a=2時，$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{4}$，此時△＞0，
∴Q（2，0）時，$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{4}$．

點評 本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、拋物線的標準方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于中檔題．