15．若${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為$\frac{1}{32}$．

分析 利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)T4=${∁}_{n}^{3}$$（\sqrt{x}）^{n-3}（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{3}$=（-1）3$•\frac{1}{8}$${∁}_{n}^{3}$${x}^{\frac{n-5}{2}}$為常數(shù)項(xiàng)，
令$\frac{n-5}{2}$=0，
解得n=5．
取x=1，展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為=$（1-\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$．
故答案為：$\frac{1}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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