Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-4（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上單調(diào)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最小值為-8，求a的值；
（Ⅲ）若對任意的a∈R，總存在x₀∈[1，2]，使得|f（x₀）|≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)得，函數(shù)的對稱軸不在[0，2]內(nèi)即可；
（Ⅱ）討論f（x）在[a，a+1]上的單調(diào)性，求出f（x）最小值，即可求出a的值，
（Ⅲ）討論f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，求出f（x）在[1，2]的最大值，即可得出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²-ax-4，a∈R；
當f（x）在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)函數(shù)時，
對稱軸x=$\frac{a}{2}$應(yīng)滿足$\frac{a}{2}$≤0或$\frac{a}{2}$≥2，
即a≤0或a≥4，
∴a的取值范圍是{a|a≤0或a≥4}；
（Ⅱ）f（x）=x²-ax-4（a∈R）的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
當$\frac{a}{2}$≤a時，即a≥0時，f（x）_min=f（a）=a²-a²-4=-4≠-8，
當$\frac{a}{2}$≥a+1時，即a≤-2，f（x）_min=f（a）=（a+1）²-a（a+1）-4=-8，解得a=-5，
當a＜$\frac{a}{2}$＜a+1時，即-2＜a＜0時，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=（$\frac{a}{2}$）²-a（$\frac{a}{2}$）-4=-8，解得a=±4（舍去），
綜上所述f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最小值為-8，則a=-5．
（Ⅲ）當$\frac{a}{2}$≤1時，即a≤2時，f（x）_max=f（2）=2²-2a-4=-2a，
則|-2a|≥m，即m≤|2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2a，0≤a≤2}\\{-2a，a＜0}\end{array}\right.$
當$\frac{a}{2}$≥2時，即a≥4，f（x）_max=f（1）=1²-a-4=-a-3，
則|-a-3|≥m，即m≤|a+3|=a+3，
當1＜$\frac{a}{2}$≤$\frac{3}{2}$時，即2＜a≤3時，f（x）_max=f（2）=-2a，則|-2a|≥m，即m≤2a，
當$\frac{3}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜2時，即3＜a＜4時，f（x）_max=f（1）=-a-3，則|-a-3|≥m，即m≤a+3，
綜上所述：當a＜0時，m≤-2a，
當0≤a≤3時，m≤2a，
當a＞3時，m≤a+3．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了恒成立問題與存在性問題，是綜合性題目．