Question

7．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，2^f（x）•2^f′（x）＞2，f（0）=8，則不等式$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}$＞1的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由題意可得到f（x）+f′（x）＞1，而令g（x）=e^x[f（x）-1]，從而可得到g′（x）＞0，這便說明g（x）在R上為增函數(shù)，而可求得g（0）=7，從而$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}＞1$便可得到g（x）＞g（0），這樣即可得出原不等式的解集．

解答 解：2^f（x）•2^f′（x）=2^{f（x）+f′（x）}＞2；
∴f（x）+f′（x）＞1；
令g（x）=e^x[f（x）-1]，則g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0；
∴g（x）在R上為增函數(shù)；
∵f（0）=8；
∴g（0）=f（0）-1=7；
由$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}＞1$得，$\frac{{e}^{x}[f（x）-1]}{7}＞1$；
∴g（x）＞g（0）；
∴x＞0；
即原不等式的解集為（0，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查指數(shù)式的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)單調(diào)性定義解不等式的方法．