Question

13．已知f（x）=2x+3-$\frac{ln（2x+1）}{2x+1}$．
（I）求證：當x=0時，f（x）取得極小值；
（Ⅱ）是否存在滿足n＞m≥0的實數(shù)m，n，當x∈[m，n]時，f（x）的值域為[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可證明當x=0時，f（x）取得極小值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）=x有兩個不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進行判斷即可．

解答 解：（I）由2x+1＞0得x＞-$\frac{1}{2}$，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2-$\frac{\frac{2}{2x+1}×（2x+1）-2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$=2-$\frac{2-2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$=$\frac{2（2x+1）^{2}-2+2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$
=$\frac{8{x}^{2}+8x+2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$，
設(shè)g（x）=8x²+8x+2ln（2x+1），
則g′（x）=16x+8+$\frac{4}{2x+1}$=8（2x+1）+$\frac{4}{2x+1}$，
∵2x+1＞0，
∴g′（x）＞0，
即g（x）在x＞-$\frac{1}{2}$上為增函數(shù)，
∵g（0）=0，
∴當x＞0時，g（x）＞g（0）=0，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增，
當x＜0時，g（x）＜g（0）=0，此時f′（x）＜0，函數(shù)f（x）遞減，
故當x=0時，f（x）取得極小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當x＞0時，函數(shù)f（x）遞增，
若存在滿足n＞m≥0的實數(shù)m，n，當x∈[m，n]時，f（x）的值域為[m，n]，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即m，n是方程f（x）=x的兩個不同的根，
即2x+3-$\frac{ln（2x+1）}{2x+1}$=x，
則x+3=$\frac{ln（2x+1）}{2x+1}$．
即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），
設(shè)y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），
作出兩個函數(shù)的圖象，
由圖象知當x＞-$\frac{1}{2}$時，兩個函數(shù)沒有交點，
即方程f（x）=x不存在兩個不同的根，
即不存在滿足n＞m≥0的實數(shù)m，n，當x∈[m，n]時，f（x）的值域為[m，n]．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算和推理能力，綜合性較強，難度較大．