Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|的最小值，并求此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|的表達(dá)式，結(jié)合x的范圍，從而求出|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|的范圍即可；
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，再求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，從而求出f（x）的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最小值及x的取值．

解答 解：（Ⅰ）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）}^{2}{+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$
因?yàn)閤∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，π≤2x≤3π，
所以：-1≤cos2x≤1，
∴0≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤2；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos2x，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2-2cos2x}$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=cos^₂x-2|sinx|，
x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，
f（x）=1-2sin²x-2|sinx|=1-2sin²x-2sinx，
此時(shí)0≤sinx≤1，令t=sinx，則t∈[0，1]，
∴f（t）=1-2t²-2t=-2${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)t=1時(shí)，f（t）最小，f（t）的最小值是-3，
此時(shí)，sinx=1，x=$\frac{π}{2}$，
同理可求x∈[π，$\frac{3π}{2}$]時(shí)，f（x）的最小值是-3，
此時(shí)，sinx=-1，x=$\frac{3π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．