Question

19．底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．已知同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球．已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R．設兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為α、β，則tan（α+β）的值是$-\frac{4\sqrt{3}}{3a}R$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象以及過球心的截面圓，由球和正三棱錐的幾何特征可得：兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為α、β，再求出涉及的線段的長度，根據(jù)兩角和的正切函數(shù)和正切函數(shù)的定義求出tan（α+β）的值．

解答 解：由題意畫出圖象如下圖：

由圖得，右側為該球過SA和球心的截面，由于三角形ABC為正三角形，
所以D為BC中點，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，
故∠SDA=α，∠MDA=β．
設SM∩平面ABC=P，則點P為三角形ABC的重心，且點P在AD上，SM=2R，AB=a，
∴$AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，PA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a，PD=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，
因此$tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{{\frac{SP}{PD}+\frac{MP}{PD}}}{{1-\frac{SP}{PD}•\frac{MP}{PD}}}=\frac{PD•SM}{{P{D^2}-SP•MP}}=\frac{PD•SM}{{P{D^2}-P{A^2}}}$
=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{6}a•2R}}{{\frac{a^2}{12}-\frac{a^2}{3}}}=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3a}R$，
故答案為：$-\frac{4\sqrt{3}}{3a}R$．

點評 本題通過對球的內(nèi)接幾何體的特征考查利用兩角和的正切函數(shù)的進行計算，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題．