Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-2|，若b≠0，且a，b∈R時(shí)，都有不等式|a+b|+|a-2b|≥|b|•f（x）成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是[-1，5]．

Answer 1

分析 先分離出含有a，b的式子，即$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）≥f（x）恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求左式的最小值，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到．

解答 解：由題意，即$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）≥f（x）恒成立，
故f（x）小于 等于$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）的最小值．
∵$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）≥$\frac{1}{|b|}$（|a+b-a+2b|）=3，
當(dāng)且僅當(dāng)（a+b）（a-2b）≤0時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{|b|}$（|a+b|+|a-2b|）的最小值等于3．
∴x的范圍即為不等式|x-2|≤3的解．
解不等式得-1≤x≤5．
故答案為：[-1，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式的恒成立問題，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，通常采用分離參數(shù)的方法解決，屬于中檔題．