Question

13．已知函數(shù)f（x）=-3x²+a（5-a）x+b，a，b∈R．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若b為常數(shù)，解關(guān)于a的不等式f（1）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意并結(jié)合一元二次不等式與一元二方程的關(guān)系，可得方程-3x²+a（5-a）x+b=0的兩根分別為-1和3，由此建立關(guān)于a、b的方程組并解之，即可得到實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）由f（1）＜0．得a²-5a-b+3＞0，根據(jù)△與0的關(guān)系，加以討論，即可得到答案．

解答 （1）由題意知，-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0的兩個(gè)根，…（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+d（5-a）-b=0}\\{27-3a（5-a）-b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=9}\end{array}\right.$．…（6分）
（2）由f（1）＜0，得a²-5a-b+3＞0，
△=（-5）²-4（-b+3）=13+4b，…（8分）
1⁰當(dāng)△＜0即b＜-$\frac{13}{4}$時(shí)，a∈R，…（10分）
2⁰當(dāng)△=0即b=-$\frac{13}{4}$時(shí)，解集為{a|a≠$\frac{5}{2}$，a∈R}}     …（12分）
3⁰當(dāng)△＞0即b＞-$\frac{13}{4}$時(shí)，解集為{a＞$\frac{5+\sqrt{4b+13}}{2}$，或a＜$\frac{5-\sqrt{4b+13}}{2}$}} …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題給出二次函數(shù)，討論不等式不等式f（x）＞0的解集并求參數(shù)的值，著重考查了一元二次不等式的應(yīng)用、一元二次不等式與一元二方程的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題