Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{2}_{{a}_{n}+1}}$，a₁=1（n∈N₊）
（1）試猜想{a_n}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）令b_n=a_na_n+1，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$、a₁=1可知a₂、a₃、a₄，進(jìn)而猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）通過(guò)a_n=$\frac{1}{2n-1}$，裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），累加即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，a₁=1，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}}{1+2{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1+2•\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{5}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}}{1+2{a}_{3}}$=$\frac{\frac{1}{5}}{1+2•\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{7}$，
猜想：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)命題成立，即a_k=$\frac{1}{2k-1}$，
則a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+2{a}_{k}}$=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+2•\frac{1}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k+1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立；
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$對(duì)于任意正整數(shù)n都成立；
（2）∵a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
又∵S_n＞S_n-1＞…＞S₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．