Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1，有下列四個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函數(shù)；
②點（$\frac{3π}{8}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心；
③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則f（x）的值域為[0，$\sqrt{2}$]．
則所有正確結(jié)論的序號是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ②④
• D． ①②

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷出正誤．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$：
①若x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，則$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函數(shù)，因此正確；
②∵$f（\frac{3π}{8}）$=$\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$sinπ=0，因此點（$\frac{3π}{8}$，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，正確；
③由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$得到y(tǒng)=$\sqrt{2}sin[2（x+\frac{π}{4}）]$=$\sqrt{2}cos2x$，因此由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$不能得到函數(shù)f（x）的圖象；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則$（2x+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，∴$sin（2x+\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，∴f（x）的值域為[-1，$\sqrt{2}$]，因此不正確．
故選：D．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．